গণিতের সূত্র | পর্বঃ ১২ | স্থানাংক জ্যামিতি (Coordinate Geometry) অধ্যায়ের সূত্র

স্থানাংক জ্যামিতির সূত্র

গণিতের সূত্র নিয়ে আমাদের ধারাবাহিক পর্বের এ পর্বে থাকছে স্থানাংক জ্যামিতি অধ্যায়ের সূত্রসমূহ।

স্থানাংক জ্যামিতির সূত্র

১। কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r,θ) হলে, x=rcosθ, y=rsinθএবং মডুলাস, r=√x2+y2

আর্গুমেন্ট, θ=tan−1 (y/x)

২। (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব =

√(x1−x2)2+(y1−y2)2

৩। বর্গ হওয়ার শর্ত: বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।

রম্বস হওয়ার শর্ত: বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

আয়তক্ষেত্র হওয়ার শর্ত: বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।

সামান্তরিক হওয়ার শর্ত: বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

৪। (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখাকে (x,y) বিন্দু m1:m2অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে: 

(x,y)≡ 

m1x2+m2x1

m1+m2

,

m1y2+m2y1

m1+m2

1. বহির্বিভক্ত করলে: (x,y)≡(

   m1x2−m2x1

   m1−m2

   ,

   m1y2−m2y1

   m1−m2

   )

৫. (x,y) বিন্দু থেকে X- অক্ষের লম্ব দূরত্ব = |y| 

এবং 

Y- অক্ষের লম্ব দূরত্ব = |x|

৬. (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (

x1+x2

2

,

y1+y2

2

)

৭. (x1,y1), (x2,y2) , (x3,y3) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 

1

2

[

x1	y1	1
x2	y2	1
x3	y3	1

]

৮. (x1,y1), (x2,y2) , (x3,y3) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (

x1+x2+x3

3

,

y1+y2+y3

3

)

৯. বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হলে বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে।

১০. (x1,y1) ,(x2,y2) ,(x3,y3) ,(x4,y4) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল (ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে) = 

1

2

|

x1	x2	x3	x4	x1
y1	y2	y3	y4	y1

| 
=

1

2

{(x1y2+x2y3+x3y4+x4y1)−(x2y1+x3y2+x4y3+x1y4)}

১১. X− অক্ষের সমীকরণ, y=0

১২. Y− অক্ষের সমীকরণ, x=0

১৩. X− অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ, y=b

১৪. Y− অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ, x=a

১৫. সরলরেখার ঢাল, m=tanθ, 

যেখানে θ=X− অক্ষের ধনাত্বক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণ।

১৬. (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল, m= 

y2−y1

x2−x1

১৭. ax+by+c=0 সরলরেখার ঢাল, m = 

−xএরসহগ

yএরসহগ

 = −

a

b

১৮. m1 ও m2 ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখাদ্বয় সমান্তরাল হলে, m1=m2 হবে।

১৯. m1 ও m2 ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখাদ্বয় লম্ব হলে, m1m2=−1 হবে।

২০. m ঢালবিশিষ্ট এবং Y-অক্ষ থেকে C পরিমাণ অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c

২১. মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y=mx

২২. m ঢাল এবং (x1,y1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y−y1=m(x−x1)

২৩. (x1,y1) এবং (x2,y2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, 

x−x1

x1−x2

=

y−y1

y1−y2

২৪. অক্ষদ্বয়কে ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, 

x

a

+

y

b

=1 , যেখানে x ও y অক্ষের ছেদিতাংশ যথাক্রমে a ও b; রেখাটি X- অক্ষকে (a,0) বিন্দুতে এবং Y-অক্ষকে (0,b) বিন্দুতে ছেদ করে।

২৫. মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p এবং X- অক্ষের সাথে উক্ত লম্বের উৎপন্ন কোণের পরিমাণ α হলে, সরলরেখার সমীকরণ,xcosα+ysinα=p

২৬. ax+by+c=0 রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, ax+by+k=0

২৭. ax+by+c=0 রেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ, bx−ay+k=0

২৮. a1x+b1y+c1=0 এবং a2x+b2y+c2=0 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, a1x+b1y+c1+k(a2x+b2y+c2)=0

২৯. m1 এবং m2 ঢালবিশিষ্ট সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α হলে,tanα=±

m1−m2

1+m1m2

৩০.

a1x+b1y+c1=0 , a2x+b2y+c2=0 এবং a3x+b3y+c3=0 সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হওয়ার শর্ত: |

a1	b1	c1
a2	b2	c2
a3	b3	c3

|=0

৩১. P(x1,y1) বিন্দুহতে ax+by+c=0 রেখার লম্বদূরত্ব = 

|ax1+by1+c|

√a2+b2

৩২. ax+by+c1=0 এবং ax+by+c2=0 সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব= 

|c1−c2|

√a2+b2

৩৩. a1x+b1y+c1=0 এবং a2x+b2y+c2=0 রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডদ্বয়ের সমীকরণ, 

a1x+b1y+c1

√a12+b12

=±

a2x+b2y+c2

√a22+b22

 

যদি a1a2+b1b2>0 হয় তবে, + হতে স্থূলকোণের সমীকরণ এবং – হতে সূক্ষ্ম কোণের সমীকরণ পাওয়া যাবে। 
যদি a1a2+b1b2<0 হয় তবে, − হতে স্থূলকোণের সমীকরণ এবং + হতে সূক্ষ্ম কোণের সমীকরণ পাওয়া যাবে।